Question

【题目】如图，已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA1 ， ∠ABC=90°，M是BC的中点．

（1）求证：A1B∥平面AMC1；
（2）求平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结A1C，交AC1于点O，连结OM，

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，

又∵M为BC中点，∴OM为△A1BC中位线，

∴A1B∥OM，

∵OM平面AMC1，A1B平面AMC1，

∴A1B∥平面AMC1．

（2）解：∵三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，M是BC的中点，

∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，2），A1（0，2，2），

则 =（1，﹣2，0）， =（2，﹣2，2），

=（0，﹣2，0）， =（1，0，﹣2），

=（0，﹣2，0）， =（1，0，﹣2），

设平面AMC1的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取y=1，得 =（2，1，﹣1），

设平面A1B1M的法向量 =（a，b，c），

则 ，取c=1，得 =（2，0，1），

cos＜ ＞= = = ，

∴平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值为

【解析】（1）连结A1C，交AC1于点O，连结OM，则A1B∥OM，由此能证明A1B∥平面AMC1 ． （2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．