题目内容
【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称为“局部奇函数”
(1)已知二次函数(
且
),试判断
是否为“局部奇函数”,并说明理由;
(2)若是定义在区间
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围;
(3)若为定义域为
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围;
【答案】(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)根据条件中局部奇函数的定义,只需判断方程是否有解即可下结论;(2)
根据局部奇函数的定义,参变分离后可得到关于
的函数关系式,即可求解;(3)根据局部奇函数的定
义,可得到,
满足的式子,换元后可将问题等价转化为二次函数的零点分布,即可求解.
试题解析:(1)由题意得:,当
或
时,
成立,∴
是“局部奇函数”;(2)由题意得:
∵,∴
在
有解,∴
,
,
令,则
,设
,
在
单调递减,在
单调递增,
∴ ,∴
;(3)由定义得:∵
,
∴,即
有解,
设,∴方程等价于
在
时有解,
设,对称轴
,
①若,则
,即
,∴
,
此时,②若
时,则
,即
,此时
,
综上得:,即实数
的取值范围是
.
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