题目内容
【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若曲线上点
处的切线过点
,求函数
的单调减区间;
(Ⅱ)若函数在
上无零点,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由导数几何意义得切线斜率,再由点斜式得切线方程,代入点可解得
,再根据函数
导函数小于零,解得单调减区间;(Ⅱ)先由题意得
,
恒成立,再变量分离转化为对应函数最值:
的最大值,最后利用导数求函数
,
最大值,经过二次求导可得
在区间
内为增函数,
,因此
.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
,
所以,又
,所以
,得
,
由,得
,所以函数
的单调减区间为
.
(Ⅱ)因为当→
时,
,所以
在区间
内恒成立不可能. 所以要使函数
在区间
内无零点,只要对任意的
,
恒成立,即对
,
恒成立.
令,
,则
.
再令,
,则
,
所以在区间
内为减函数,所以
,
∴.
于是在区间
内为增函数,所以
,
所以要使恒成立,只要
.
综上,若函数在区间
内无零点,则实数
的最小值为
.
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