Question

19．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q．R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，则线段NQ长的最小值为$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

Answer 1

分析 设R（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{（{x}_{0}-t）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x₀=$\frac{t}{2}$，${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，于是可得直线RM的方程为：y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$（x-t）．与圆O：x²+y²=1得N点横坐标为$\frac{t（3-{t}^{2}）}{2}$，继而可得NQ的表达式，可求得线段NQ长的最小值．

解答 解：设R（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{（{x}_{0}-t）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x₀=$\frac{t}{2}$，${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
直线RM的方程为：y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$（x-t）．
与圆O：x²+y²=1得N点横坐标为$\frac{t（3-{t}^{2}）}{2}$，
所以NQ=$\sqrt{（\frac{2t-{t}^{3}}{2}）2}+1-（\frac{3t-{t}^{3}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2{t}^{4}-5{t}^{2}+4}$，
所以当t²=$\frac{5}{4}$，即t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，NQ最小为$\frac{\sqrt{14}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用、直线的点斜式方程，突出考查方程思想与综合运算能力，属于中档题．