Question

9．已知函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R（ω＞0），在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$．
（1）求ω；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到导函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，结合题意可解ω=1；
（2）由函数图象的变换可得g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，由正弦函数的图象和性质易得最大值和单调区间．

解答 解：（1）由于函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R（ω＞0），
在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，
可得2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=1．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
若将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，可得函数y=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{3}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$ 的图象；
再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，可得函数y=g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$ 的图象．
∴函数g（x）的最大值为1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得4kπ+$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{10π}{3}$，
∴函数g（x）单调递减区间为：[4kπ+$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{10π}{3}$]（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数图象的性质，涉及三角函数公式以及图象的变换，属中档题．