题目内容
【题目】如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机
监控河流南岸相距150米的
两点处（
在的正西方向），河流北岸的监控中心
在的正北方100米处，监控控制车
在的正西方向，且在通向的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车到无人机和到监控中心的距离之和150米，平面
始终垂直于水平面
，且
，两点间距离维持在100米.
（1）当监控控制车到监控中心的距离为100米时，求无人机距离水平面的距离；
（2）若记无人机看处的俯角（
），监控过程中，四棱锥
内部区域的体积为监控影响区域
，请将表示为关于
的函数，并求出监控影响区域的最大值.
【答案】（1）
米；（2）
，
立方米
【解析】
（1）过D作
，垂足为F，由面面垂直的性质定理可知，
平面ABCE，即线段DF长为点D到平面ABCE的距离，在
中利用面积相等求出DF即可；
（2）由（1）知，DF是四棱锥D-ABCE的高，在中，把DF表示成关于
的表达式，再利用四棱锥的体积公式把四棱锥
内部区域的体积为监控影响区域
表示成关于的函数，对函数
进行求导，利用导数判断其单调性并求其最大值.
（1）过D作，垂足为F，
又因为平面
平面ABCE，平面
平面
，
所以平面ABCE，
所以线段DF长为点D到平面ABCE的距离，
在中，
，
（米），
（米），
所以
（米）.
即点D到水平面ABCE的距离为米.
（2）由（1）知，DF是四棱锥D-ABCE的高，
在中，因为（米），
，
所以
（米），
（米），
所以
（米），
所以梯形ABCE的面积
（米），
所以四棱锥的体积
，
分析知，
，且
，
所以V关于的函数关系为
，
.
因为，
所以当
时，
；当
时，
，
即当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以当
，即
时，
（立方米）.
即监控影响区域的最大值为立方米.
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