Question

【题目】数列{an}满足a1=1， （n∈N+）．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）设bn=n（n+1）an ， 求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知可得 ，

即 ，

即

∴数列 是公差为1的等差数列

（2）解:知 ，

∴

（3）解: 由（2）知bn=n2n

Sn=12+222+323++n2n

2Sn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1

相减得： =2n+1﹣2﹣n2n+1∴Sn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由已知中 （n∈N+），我们易变形得： ，即 ，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（2）由（1）的结论，我们可以先求出数列 的通项公式，进一步得到数列{an}的通项公式an；（3）由（2）中数列{an}的通项公式，及bn=n（n+1）an ， 我们易得到数列{bn}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{bn}的前n项和Sn ．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．