Question

【题目】如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值；
（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1 ， k2 ， 试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵e==，∴a=c，
∴b2=c2
∴椭圆方程为+=1
又点A（1，）在椭圆上，
∴=1，
∴c2=2
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=
∴△ABD面积S=≤=
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2
此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．
证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0
当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件
【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，化简椭圆方程，代入A，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，与椭圆方程联立，表示出面积，利用基本不等式求△ABD面积的最大值；
（Ⅲ）k1+k2=0，猜想λ=1时成立，再进行证明即可．