Question

【题目】已知二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），且1和3是函数y=f（x）+2x的两个零点．若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：因为1，3是y=f（x）+2x的两个零点，且a＜0，所以f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），
得f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①
所以f（x）+6a=ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②
又方程②有两个相等的实根，
所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0，
解得a=1（舍去）或a= ．
将a= 代入①，得f（x）=
【解析】利用1，3是y=f（x）+2x的两个零点，推出f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a，结合f（x）+6a═0，有两个相等的实根，通过△=0求出a，得到函数的解析式．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．