题目内容

【题目】设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在次不动点.若函数f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在区间[1,4]上存在次不动点,则实数a的取值范围是(
A.(﹣∞,0)
B.(0,
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]

【答案】D
【解析】解:依题意,存在x∈[1,4], 使F(x)=f(x)+x=ax2﹣2x﹣a+ =0,
当x=1时,使F(1)= ≠0;
当x≠1时,解得a=
∴a′= =0,
得x=2或x= ,( <1,舍去),

x

(1,2)

2

(2,4)

a′

+

0

a

最大值

∴当x=2时,a最大= =
所以常数a的取值范围是(﹣∞, ],
故选:D.
根据“f(x)在区间D上有次不动点”当且仅当“F(x)=f(x)+x在区间D上有零点”,依题意,存在x∈[1,4],使F(x)=f(x)+x=ax2﹣2x﹣a+ =0,讨论将a分离出来,利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围.

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