题目内容
14．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
| 甲班（A方式） | 乙班（B方式） | 总计 | |
| 成绩优秀 | |||
| 成绩不优秀 | |||
| 总计 |
| P（K2≥k） | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| k | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
分析 （1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，作出列联表，求出K2的观测值，由此能判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
解答 解：（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{46}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{207}{245}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{46}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{184}{1225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{6}{1225}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{207}{245}$ | $\frac{184}{1225}$ | $\frac{6}{1225}$ |
（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，
乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，
| 甲班（A方式） | 乙班（B方式） | 总计 | |
| 成绩优秀 | 12 | 4 | 16 |
| 成绩不优秀 | 38 | 46 | 84 |
| 总计 | 50 | 50 | 100 |
K2=$\frac{100×（12×46-4×38）^{2}}{16×84×50×50}$≈4.762，
∵4.762＞3.841，∴在错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．
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