题目内容
【题目】设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)> ﹣e1﹣x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】
(1)
解:由题意,f′(x)=2ax﹣ =
,x>0,
①当a≤0时,2ax2﹣1≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a>0时,f′(x)= ,当x∈(0,
)时,f′(x)<0,
当x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(0, )上单调递减,在(
,+∞)上单调递增
(2)
解:原不等式等价于f(x)﹣ +e1﹣x>0在x∈(1.+∞)上恒成立,
一方面,令g(x)=f(x)﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣
+e1﹣x﹣a,
只需g(x)在x∈(1.+∞)上恒大于0即可,
又∵g(1)=0,故g′(x)在x=1处必大于等于0.
令F(x)=g′(x)=2ax﹣ +
﹣e1﹣x,g′(1)≥0,可得a
.
另一方面,当a 时,F′(x)=2a+
≥1+
=
+e1﹣x,
∵x∈(1,+∞),故x3+x﹣2>0,又e1﹣x>0,故F′(x)在a 时恒大于0.
∴当a 时,F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.
∴F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,故g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增.
∴g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0.
综上,a
【解析】(I)利用导数的运算法则得出f′(x),通过对a分类讨论,利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性;
(2)令g(x)=f(x)﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣
+e1﹣x﹣a,可得g(1)=0,从而g′(1)≥0,解得得a
, 又,当a
时,F′(x)=2a+
≥
+e1﹣x , 可得F′(x)在a
时恒大于0,即F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.由F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,可得g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增,进而利用g(x)>g(1)=0,可得g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0,综合可得a所有可能取值.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用,考查了计算能力和转化思想,熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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