Question

【题目】已知函数f（x）=．

（Ⅰ）若f（x）是奇函数，求实数a的值；

（Ⅱ）当0＜x≤1时，|f（2x）-f（x）|≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-1（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）利用奇偶性定义得f（-x）=- f（x）恒成立，可得a=-1；

（Ⅱ）代入f（2x）、f（x）后分离参数a，然后恒成立问题转化为最值问题，最后构造函数求出最值即可．

（Ⅰ）因为f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，

所以f（-x）=- f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）内恒成立，

即=-，

也就是（a+1）（2x-1）=0对（-∞，0）∪（0，+∞）上的任意的x都成立，

故a=-1.

（Ⅱ）∵|f（2x）-f（x）|≥1|-|≥1|a-1|，

∵0＜x≤1，∴4x＞1，∴|a-1|≥，

令t=2x，t∈（1，2]，则|a-1|，对t∈（1，2]恒成立，

令y=t-，t∈（1，2]，则|a-1|≥ymax，

又y′=1+＞0，

∴y=t-在（1，2]上是增函数，

∴ymax=2-=，

∴|a-1|，

∴a-1，或a-1

解得：或，

故实数的取值范围是：或．