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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.

(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

(Ⅱ)设点为曲线上的动点,求点到直线距离的最大值及其对应的点的直角坐标．

【答案】(Ⅰ) 曲线的普通方程为： ,直线的直角坐标方程为. (Ⅱ) 最大值为， 点的坐标为.

【解析】试题分析：

(1)消去参数可曲线的普通方程为： ,极坐标化简直角坐标可得直线的直角坐标方程为.

(2)利用点到直线距离公式可得，由三角函数的 性质可得，此时点的坐标为.

试题解析：

(Ⅰ)曲线的普通方程为： ,

化简为,

∴直线的直角坐标方程为.

(Ⅱ)设点的坐标为,

则点到直线的距离,

其中.

显然当时, ,

此时,

∴,

,

即点的坐标为.

练习册系列答案
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第30届伦敦

第29届北京

第28届雅典

第27届悉尼

第26届亚特兰大

中国

38

51

32

28

16

俄罗斯

24

23

27

32

26

（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；

（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：

时间（届）

26

27

28

29

30

金牌数之和（枚）

16

44

76

127

165

作出散点图如图：

由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程，并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？

附：对于一组数据， ，…， ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

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