Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞0）的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点．

（1）求m的值及椭圆的准线方程；

（2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1），准线为；（2）见解析

【解析】试题分析：1）利用椭圆的离心率求出 ，即可顶点椭圆方程．

（2）设．不妨设，①若，求出方程为方程为 ，然后判断以为直径的圆的圆心，半径为1与直线相切；②若 则 方程为，然后判断以为直径的圆与直线相切．

试题解析：（1）因为椭圆的离心率为．所以，解得m=9，所以椭圆的方程为，准线方程为

（2）由题可知A（﹣5，0），B（5，0），F（4，0），设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨设y0＞0，①若x0=4，则，PF方程为x=4，AP方程为，D（5，2），以BD为直径的圆的圆心（5，1），半径为1与直线PF相切；②若x0≠4，则AP方程为，令x=5，得，则，以BD为直径的圆的圆心，半径为，直线PF方程为，即y0x﹣（x0﹣4）y﹣4y0=0，圆心M到直线PF的距离 ，所以圆M与直线PF相切，综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．