Question

18．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=∠CAD=$\frac{π}{3}$，且AB=AC=6，AD=4，则该四面体外接球的半径为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意，画出图形，得到△ABC是等边三角形，F是正三角形ABC的中心，延长AF交BC于E，连DE，可求DF=AF=BF=CF=2$\sqrt{3}$．

解答 解：因为，∠BAC=∠BAD=∠CAD=$\frac{π}{3}$，且AB=AC=6，AD=4，
∴BC=6，
由余弦定理，
BD²=6²+4²-2×6×4×cos60°=28，BD=CD=2$\sqrt{7}$．
设F是正三角形ABC的中心，延长AF交BC于E，连DE，则AE=3$\sqrt{3}$，AF=2$\sqrt{3}$，如图
DE=$\sqrt{C{D}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{19}$，
cos∠DAE=$\frac{A{D}^{2}+A{E}^{2}-D{E}^{2}}{2AD×AE}$=$\frac{24}{24\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理，DF²=12+16-2×2$\sqrt{3}$×$\frac{4}{\sqrt{3}}$=12，
∴DF=AF=BF=CF=2$\sqrt{3}$，
∴F是球心，球半径=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了四面体的外接球的半径；关键是利用余弦定理求出DF=AF=BF=CF=2$\sqrt{3}$，得到球的半径．