Question

7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$|，则△ABC的形状为直角三角形．

Answer 1

分析 由向量的减法法则，将题中等式化简得$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$，进而得到$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，得到△ABC是直角三角形．

解答 解：∵$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$
∴$\overrightarrow{|OB}-\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}|$，即|$\overrightarrow{CB}$|=$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$
∵$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，∴$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$，
由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评 本题给出向量等式，判断三角形ABC的形状，着重考查了平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．