题目内容
【题目】如图,多面体,
,
,且
两两垂直.给出下列四个命题:
①三棱锥的体积为定值;
②经过四点的球的直径为
;
③直线∥平面
;
④直线所成的角为
;
其中真命题的个数是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由题意,只要构造长方体,设OA=x,OB=y,OC=z,则x2+y2=2,x2+z2=4,y2+z2=4,解得,x=1,y=1,z=,运用棱锥的体积公式,即可判断①;运用异面直线所成角的定义,即可判断②;球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,即可判断③;由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,即可判断④.
由题意,构造长方体,如右图,设OA=x,OB=y,OC=z,
则x2+y2=2,x2+z2=4,y2+z2=4,解得,x=y=1,z=,
对于①,三棱锥O﹣ABC的体积为OC×
OA×OB=
,故①对;
对于②,球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长,
即为,故②对;
对于③,由于OB∥AE,AE和平面ACD相交,则OB和平面ACD相交,故③错.
对于④,由于OB∥AE,则∠DAE即为直线AD与OB所成的角,
由tan∠DAE=,则∠DAE=60°,故④对;
故选:C
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