题目内容

【题目】已知F2、F1是双曲线 (a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(
A.3
B.
C.2
D.

【答案】C
【解析】解:由题意,F1(0,﹣c),F2(0,c),
一条渐近线方程为y= x,则F2到渐近线的距离为 =b.
设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,
∴|MF2|=2b,A为F2M的中点,
又0是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角,
∴△MF1F2为直角三角形,
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4(c2﹣a2),∴c2=4a2
∴c=2a,∴e=2.
故选C.
首先求出F2到渐近线的距离,利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直角三角形MF1F2 , 运用勾股定理,即可求出双曲线的离心率.

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