Question

【题目】两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中.

（1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由；

（2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；

（3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，.

【解析】

（1）展开式中系数最大项为，然后再判断展开式中的系数是否是最大值，即可得结果；

（2）令，则，结合，求得，求得的最大值，由与具有性质，可得时，，由，结合求得的范围，再由是等差数列，可得，然后联立，解出数列的个数；

（3）由进行迭代，可得，因为与具有性质，

所以，从而可

解：（1）展开式的通项为，则数列的通项为

故数列中的最大值为

展开式的通项为，

而当时，得，

所以与不具有性质

（2）令，则，

由，即，

解得，

因为，

所以当时，,

因为 与具有性质，

所以时，，

因为，

所以，

因为，

所以，

由，解得共有102个数列；

（3）因为，

当，时，

所以

当时，符合上式

所以，

因为与是有限项数列，所以一定存在最大项，

设，因为与具有性质，

所以，

显然成立，

假设，则显然，矛盾

同理，也矛盾，

所以