题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,
①若曲线与直线
相切,求c的值;
②若曲线与直线
有公共点,求c的取值范围.
(2)当时,不等式
对于任意正实数x恒成立,当c取得最大值时,求a,b的值.
【答案】(1),
(2)
,
.
【解析】
(1)当时,
,所以
,①设切点为
,列出方程组,即可求得
,得到答案; ②由题意,得方程
有正实数根,即方程
有正实数根,记
,利用导数求得函数的单调性与最小值,即可求解
的取值范围;
(2)由题意得,当时,
对于任意正实数
恒成立,即当
时,
对于任意正实数
恒成立, 由(1)可得
,进而得到
,
,得到
时,
,进而得到
对于任意正实数
恒成立,再利用二次函数的性质,即可得到结论.
(1)解:当时,
,所以
.
①设切点为,则
由②③得,
由①得代入④得,
所以.
②由题意,得方程有正实数根,
即方程有正实数根,
记,令
,
当时,
;当
时,
;
所以在
上为减函数,在
上为增函数;
所以.
若,则
,不合;
若,由①知适合;
若,则
,又
,
所以,由零点存在性定理知
在
上必有零点.
综上,c的取值范围为.
(2)由题意得,当时,
对于任意正实数x恒成立,
所以当时,
对于任意正实数x恒成立,
由(1)知,,
两边同时乘以x得,①,
两边同时加上得,
②,
所以(*),当且仅当
时取等号.
对(*)式重复以上步骤①②可得,,
进而可得,,
,……,
所以当,
时,
,当且仅当
时取等号.
所以.
当取最大值1时,
对于任意正实数x恒成立,
令上式中得,
,所以
,
所以对于任意正实数x恒成立,
即对于任意正实数x恒成立,
所以,所以函数
的对称轴
,
所以,即
,所以
,
.
又由,两边同乘以x2得,
,
所以当,
时,
也恒成立,
综上,得,
.
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