题目内容
【题目】函数 (
为实数).
(1)若,求证:函数
在
上是增函数;
(2)求函数在
上的最小值及相应的
的值;
(3)若存在,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数在
上是增函数;(2)见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)当时,
在(0,+∞)上恒成立,故函数在(1,+∞)上是增函数;
(2)求导) ,当x∈[1,e]时,
.分①
,②
,③
,三种情况得到函数f(x)在[1,e]上是单调性,进而得到[f(x)]min;
(3)由题意可化简得到,令
,利用导数判断其单调性求出最小值为
.
试题解析:
(1)当时,
,其定义域为
,
,
当时,
恒成立,
故函数在
上是增函数.
(2) ,
当时,
,
①若,
在
上有
(仅当
,
时,
),
故函数在
上是增函数,此时
;
②若,由
,得
,
当时,有
,此时
在区间
上是减函数;
当时,有
,此时,
在区间
上是增函数,
故;
③若,
在
上有
(仅当
,
时,
),
故函数在
上是减函数,此时
综上可知,当时,
的最小值为1,相应的
的值为1;
当时,
的最小值为
,相应的
值为
;
当时,
的最小值为
,相应的
的值为
.
(3)不等式可化为
,
因为,所以
,且等号不能同时取,
所以,即
,
所以,
令,
则,
当时,
,
,
从而 (仅当
时取等号),
所以在
上为增函数,所以
的最小值为
,
所以实数的取值范围为
.
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