题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当,
时,证明:
(其中
为自然对数的底数).
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)当 时,
,分类讨论:(1)
;(2)
,可得单调区间;(2)当
时,要 证
转化为证
,设
,判断其单调性,得
,此题得证。
(1)当时,
讨论:1’当时,
,
,
此时函数的单调递减区间为
,无单调递增区间
2’当时,令
或
①当,即
时,此时
此时函数单调递增区间为
,无单调递减区间
②当,即
时,此时在
和
上函数
,
在上函数
,此时函数
单调递增区间为
和
;
单调递减区间为
③当,即
时,此时函数
单调递增区间为
和
;
单调递减区间为
(2)证明:当时
只需证明: 设
问题转化为证明,
令,
,
为
上的增函数,且
,
存在唯一的
,使得
,
在
上递减,在
上递增
不等式得证
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