题目内容
【题目】已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）＝1；
③当x1，x2∈[0，1]，且x1＋x2∈[0，1]时，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．称这样的函数为“友谊函数”．
请解答下列各题：
（1）已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）＝2x－1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；
（3）已知f（x）为“友谊函数”，假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]，且f[f(x0)]＝x0，求证： f(x0)＝x0．
【答案】（1）0；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析．
【解析】
（1）令x1＝1，x2＝0，得到f（0） ≤ 0，得到答案.
（2）计算得到
，故g(x1＋x2) ≥ g(x1)＋g(x2)，g（1）＝1，得到答案.
（3）取0≤ x1< x2 ≤1，则0< x2－x1≤1，得到f(x2) ≥ f(x1)，假设f(x0) ≠ x0，计算得出矛盾，得到答案.
（1）令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0，1]．
由③，得f（1） ≥ f（0）＋f（1），即f（0） ≤ 0，
又由①，得f（0） ≥ 0，所以f（0）＝0．
（2）g（x）＝2x－1是友谊函数．
任取x1，x2∈[0，1]，x1＋x2∈[0，1]，有，则
，故
， 即g(x1＋x2) ≥ g(x1)＋g(x2)．
又g（1）＝1，故g（x）在[0，1]上为友谊函数．
（3）取0≤ x1< x2 ≤1，则0< x2－x1≤1．因此f(x2) ≥ f(x1)＋f(x2－x1) ≥ f(x1)，
假设f(x0) ≠ x0，若f(x0) > x0，则f[f(x0)] ≥ f(x0) > x0；若f(x0) < x0，则f[f(x0)] ≤ f(x0) < x0.
都与题设矛盾，因此f(x0)＝x0．
