题目内容
【题目】设是由
个实数组成的有序数组,满足下列条件:①
,
;②
;③
,
.
(Ⅰ)当时,写出满足题设条件的全部
;
(Ⅱ)设,其中
,求
的取值集合;
(Ⅲ)给定正整数,求
的个数.
【答案】(1) 详见解析;(2) ; (3)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用题中所定义的 可得
共有5个可能的值;
(Ⅱ)利用题意逐一交换元素的位置,讨论可得:的取值集合为
.
(Ⅲ)利用(II)中的方法结合排列组合相关结论可得给定正整数,求
的个数是
试题解析:
(Ⅰ)解:,
,
,
,
,共
个.
(Ⅱ)解:首先证明,且
.
在③中,令,得
.由①得
.
由②得.
在③中,令,得
,
从而.由①得
.
考虑,即
,
,此时
为最大值.
现交换与
,使得
,此时
.
现将逐项前移,直至
.在前移过程中,显然
不变,这一过程称为1次移位.
继续交换与
,使得
,此时
.
现将逐项前移,直至
.在前移过程中,显然
不变,执行第2次移位.
依此类推,每次移位的值依次递减
.经过有限次移位,
一定可以调整为
,
交替出现.
注意到为奇数,所以
为最小值.
所以,的取值集合为
.
(Ⅲ)解:由①、②可知,有序数组中,有
个
,
个
.
显然,从中选
个
,其余为
的种数共有
种.下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③,记该数为
.
如果不满足条件③,则一定存在最小的正整数
,使得
(ⅰ); (ⅱ)
.
将统统改变符号,
这一对应为:
,
从而将变为
个
,
个
组成的有序数组.
反之,任何一个个
,
个
组成的有序数组
.由于
多于
的个数,所以一定存在最小的正整数
,使得
.
令对应为:
,
从而将变为
个
,
个
组成的有序数组.
因此,就是
个
,
个
组成的有序数组的个数.
所以的个数是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某服装销售公司进行关于消费档次的调查,根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元;500-1000元;1000-1500元;1500-2000元四个档次,针对两类人群各抽取100人的样本进行统计分析,各档次人数统计结果如下表所示:
0~ 500元 | 500~ 1000元 | 1000~ 1500元 | 1500~ 2000元 | |
A类 | 20 | 50 | 20 | 10 |
B类 | 50 | 30 | 10 | 10 |
月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群,超过1000元的视为中高收入人群.
(Ⅰ)从类样本中任选一人,求此人属于中低消费人群的概率;
(Ⅱ)从两类人群中各任选一人,分别记为甲、乙,估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率;
(Ⅲ)以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额,估计两类人群哪类月均服装消费额的方差较大(直接写出结果,不必说明理由).