Question

1．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，$∠BCD=\frac{π}{3}$，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB部分的价格是CD部分价格的两倍．设BC=x米，CD=y米．
（1）求y关于x的函数；
（2）问怎样设计AB的长，可使建造这个支架的成本最低？

Answer 1

分析 （1）由题意 BC=x，CD=y．连结BD，在△CDB中，利用余弦定理可得：化简整理即可得出：$y=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}$．（x≥1.4）
（2）设金属支架CD每米价格为a元，金属支架AB每米价格为2a元，则总成本为y•a+2x•（2a）=a（y+4x）$y+4x=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}+4x$，设$t=x-1，t≥\frac{2.8}{2}-1=0.4$，换元变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意 BC=x，CD=y．
连结BD，则在△CDB中，${（y-\frac{1}{2}）^2}={y^2}+{x^2}-2xycos\frac{π}{3}$，
整理得：$y=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}$．（x≥1.4）
（2）设金属支架CD每米价格为a元，金属支架AB每米价格为2a元，
则总成本为y•a+2x•（2a）=a（y+4x）$y+4x=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}+4x$，
设$t=x-1，t≥\frac{2.8}{2}-1=0.4$，
则$y+4x=5t+\frac{3}{4t}+6$，
令$g（t）=5t+\frac{3}{4t}+6$，在[0.4，+∞）上单调增，
所以当t=0.4时，即x=1.4时，取得最小值．
答：当AB=2.8m时，建造这个支架的成本最低．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．