Question

【题目】已知函数在点处的切线方程为.

（1）若函数在时有极值，求的解析式；

（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x3－2x2＋4x－3(2) [4，＋∞)

【解析】试题分析：（1）对函数求导，由题意点P（1，-2）处的切线方程为，可得，再根据，又由联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．
（2）由题意函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[-2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．

试题解析：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，即2a＋b＝0， ①

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. ②

(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，

所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0， ③

由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.

(2)因为函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零，则

得b≥4，所以实数b的取值范围是[4，＋∞)．