Question

【题目】已知{an}为等比数列，a1=1，a4=27； Sn为等差数列{bn} 的前n 项和，b1=3，S5=35．

（1）求{an}和{bn} 的通项公式；

（2）设数列{cn} 满足cn=anbn（n∈N*），求数列{cn} 的前n 项和Tn．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，由，可得，解得，设等差数列的公差为，由，可得，解得，从而可得结果；（2）由（1）可得，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.

试题解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1=1，a4=27；∴1×q3=27，解得q=3．

∴．

设等差数列{bn} 的公差为d，∵b1=3，S5=35．∴5×3+=35，解得d=2．

∴bn=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）cn=anbn=（2n+1）3n﹣1．

∴数列{cn} 的前n 项和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）3n﹣1．

3Tn=3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n．

∴﹣2Tn=3+2×（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）3n=3+﹣（2n+1）3n．

∴Tn=n3n．

【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.