Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠DBC=45°，$\frac{BD}{BC}$=$\sqrt{2}$，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：DE⊥PB．
（3）若PD=2，求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AC，AC∩BD=O，连接OE，则O是AC的中点，证明：PA∥OE，即可证明PA∥平面BDE；
（2）证明DE⊥平面PBC，即可证明：DE⊥PB．
（3）由V_E-ABD=V_A-BDE可得点A到平面BDE的距离．

解答 （1）证明：连接AC，AC∩BD=O，连接OE，则O是AC的中点，
∵E是PC的中点，
∴PA∥OE，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∠DBC=45°，$\frac{BD}{BC}$=$\sqrt{2}$，
∴底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD，DC=BC，
∵侧棱PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，
∴DE⊥PB；
（3）解：设点A到平面BDE的距离为h，则
△BDE中，BD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{6}$，
∴BD²=DE²+BE²，
∴DE⊥BE，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$，
由V_E-ABD=V_A-BDE可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•1$=$\frac{1}{3}•\sqrt{3}h$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即点A到平面BDE的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查点A到平面BDE的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．