题目内容
【题目】已知函数有两个零点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2是的两个零点,证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析
【解析】
试题(Ⅰ)求导,根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的结论来证明,由单调性可知等价于
,即
.设
,则
.则当
时,
,而
,故当
时,
.从而
,故
.
试题解析:(Ⅰ).
(Ⅰ)设,则
,
只有一个零点.
(Ⅱ)设,则当
时,
;当
时,
.所以
在
单调递减,在
单调递增.
又,
,取
满足
且
,则
,
故存在两个零点.
(Ⅲ)设,由
得
或
.
若,则
,故当
时,
,因此
在
单调递增.又当
时
,所以
不存在两个零点.
若,则
,故当
时,
;当
时,
.因此
在
单调递减,在
单调递增.又当
时,
,所以
不存在两个零点.
综上,的取值范围为
.
(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知
,
,
在
单调递减,所以
等价于
,即
.
由于,而
,所以
.
设,则
.
所以当时,
,而
,故当
时,
.
从而,故
.
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