题目内容
19.直线2x-y+c=0与圆(x-1)2+(y+1)2=6交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点,求c的值.分析 将直线方程代入圆的方程,利用韦达定理,及以AB为直径的圆过原点,可得关于c的方程,即可求解,注意方程判别式的验证.
解答 解:由直线2x-y+c=0与圆(x-1)2+(y+1)2=6,消去y,得5x2+(2+4c)x+c2+2c-4=0①…(4分)
设直线l和圆C的交点为A (x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是①的两个根.
∴x1x2=$\frac{{c}^{2}+2c-4}{5}$,x1+x2=-$\frac{2+4c}{5}$.②…(8分)
由题意有:OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(2x1+c)(2x2+c)=0,即5x1x2+2c(x1+x2)+c2=0③
将②代入③得:c2+3c-10=0. …(12分)
解得:c=2或c=-5,
c=2时,方程为5x2+10x+4=0,判别式△=100-80>0,满足题意
c=-5时,方程为5x2-18x-11=0,判别式△>0,满足题意
所以满足条件的c为:c=2或c=-5.…(14分)
点评 本题综合考查直线与圆的位置关系,考查向量知识的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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10.下列不等式中与x<1同解的是( )
A. | -2x>-2 | B. | mx>m | C. | x2(x-1)>0 | D. | (x+1)2(1-x)>0 |
4.函数$f(x)={x^3}+{x^{-1}}-{x^{\frac{1}{2}}}$的奇偶性为( )
A. | 奇函数 | B. | 偶函数 | ||
C. | 既是奇函数又是偶函数 | D. | 非奇非偶函数 |
11.设m、n为实数,若m+n=2,则3m+3n的最小值为( )
A. | 18 | B. | 6 | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | 9 |