题目内容

14.已知f1(x)=1-ax,f2(x)=(1-a)x-1.符号max{m,n}表示m,n两数中较大的数.
(1)设f(x)=max{f1(x),f2(x)},试求分段函数f(x)的解析式;
(2)记(1)所求函数f(x)在闭区间[1,3]内的最大值与最小值之差为h(a),试求关于a的函数h(a)的解析式.

分析 (1)令f1(x)=f2(x),可得x=2,进而可得当x<2时,1-ax>(1-a)x-1,当x>2时,1-ax<(1-a)x-1,结合f(x)=max{f1(x),f2(x)},可得分段函数f(x)的解析式;
(2)分类讨论函数f(x)在闭区间[1,3]的单调性,进而求出最大值与最小值之差为h(a),综合讨论结果,可得函数h(a)的解析式.

解答 解:(1)令f1(x)=f2(x),
即1-ax=(1-a)x-1,则x=2,
当x<2时,1-ax>(1-a)x-1,
当x>2时,1-ax<(1-a)x-1,
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}1-ax,x<2\\(1-a)x-1,x≥2\end{array}\right.$,
(2)由(1)得:f(1)=1-a,f(2)=1-2a,f(3)=2-3a,
若a<0,则f(x)在[1,3]上为增函数,此时h(a)=f(3)-f(1)=2-3a-(1-a)=-2a+1;
若a=0,则h(a)=2-1=1,
若0<a<1,则f(x)在[1,2]为减函数,在[2,3]上为增函数,
当0<a<$\frac{1}{2}$时,h(a)=f(3)-f(2)=2-3a-(1-2a)=-a+1,
当$\frac{1}{2}$≤a<1时,h(a)=f(1)-f(2)=1-a-(1-2a)=a,
若a=1时,h(a)=0-(-1)=1,
若a>1,则f(x)在[1,3]上为减函数,此时h(a)=f(1)-f(3)=1-a-(2-3a)=2a-1,
综上所述,h(a)=$\left\{\begin{array}{l}-2a+1,a≤0\\-a+1,0<a<\frac{1}{2}\\ a,\frac{1}{2}≤a≤1\\ 2a-1,a>1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用,一次函数的图象和性质,分类讨论思想,函数的最值,难度中档.

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