Question

15．已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a³），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）

• A． b=a³
• B． b=a³+$\frac{1}{a}$
• C． （b-a³）（b-a³-$\frac{1}{a}$）=0
• D． |b-a³|+|b-a³-$\frac{1}{a}$|=0

Answer 1

分析 根据△OAB为直角三角形，讨论是OA⊥OB？还是OA⊥AB？OB⊥AB？
再利用平面向量的数量积，求出a、b的关系即可．

解答 解：∵点O（0，0），A（0，b），B（a，a³），
且△OAB为直角三角形，
∴当OA⊥OB时，$\overrightarrow{OA}$=（0，b），$\overrightarrow{OB}$=（a，a³），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=ba³=0，∴b=0或a=0，此时不成立；
当OA⊥AB时，$\overrightarrow{OA}$=（0，b），$\overrightarrow{AB}$=（a，a³-b），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=b（a³-b）=0，∴b≠0且a³-b=0；
当OB⊥AB时，$\overrightarrow{AB}$=（a，a³-b），$\overrightarrow{OB}$=（a，a³），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=a²+a³（a³-b）=0，∴a≠0且$\frac{1}{a}$+a³-b=0；
综上，a³-b=0或$\frac{1}{a}$+a³-b=0，
即（b-a³）（b-a³-$\frac{1}{a}$）=0．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．