Question

3．已知数列{a_n}，a₁=4，a_n=$\frac{3{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}+4}$（n≥2，n∈N₊），求a_n．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{3{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}+4}$可知a_n-1=$\frac{2（{a}_{n-1}-1）}{（{a}_{n-1}-1）+5}$，对等式两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，变形可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$+$\frac{1}{3}$），进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{2}{3}$为首项、$\frac{5}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{3{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}+4}$（n≥2，n∈N₊），
∴a_n-1=$\frac{3{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}+4}$-1=$\frac{2（{a}_{n-1}-1）}{（{a}_{n-1}-1）+5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{（{a}_{n-1}-1）+5}{2（{a}_{n-1}-1）}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$+$\frac{1}{3}$），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4-1}$$+\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{2}{3}$为首项、$\frac{5}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$•$（\frac{5}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•$（\frac{5}{2}）^{n-1}$=$\frac{-1+2•（\frac{5}{2}）^{n-1}}{3}$，
∴a_n=1+$\frac{3}{-1+2•（{\frac{5}{2}）}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．