Question

11．已知正方形ABCD，HG⊥平面ABCD，G，F分别为AB，BC的中点，E为AC上一点，且AE=3EC，求证：EF为异面直线AC与HF的公垂线．

Answer 1

分析 连接BD交AC于Q，根据正方形的性质及中位线定理，可得FE⊥AC；连接GF，根据线面垂直的性质及判定定理，可得FE⊥HF．，即EF为异面直线AC与HF的公垂线

解答 证明：连接BD交AC于Q，Q即正方形中心点，如图所示：

∵AE=3EC，
∴E是QC的中点，
又∵F是BC中点，
∴FE∥BQ，
又∵BQ⊥AC，
∴FE⊥AC．
连接GF，
∵G和F都是中点，
∴GF∥AC，
∴FE⊥GF，
∵HG⊥平面ABCD，FE?平面ABCD，
∴HG⊥FE，
又由HG∩GF=G，
∴FE⊥平面HGF，
又∵HF?平面HGF，
∴FE⊥HF．
即EF为异面直线AC与HF的公垂线

点评 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定和性质，难度中档．