题目内容
19．
如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，建立直角坐标系，（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹；
（2）若动点P到线段CD中点N的距离比到直线AB的距离大4，求动点P的轨迹方程，作出动点P的大致轨迹；
（3）若动点P到直线AD、BC的距离之积是到直线AB、CD的距离之积的a（a＞0）倍，求动点P的轨迹方程，并指出是怎样的曲线．
分析 （1）设P（x，y），则|y-1|•|y+1|=1，化简即可得到方程和轨迹；
（2）设P（x，y），由题意可得$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x+2|+4，化简整理即可得到所求方程和轨迹；
（3）设P（x，y），则|y-1|•|y+1|=a|x-2|•|x+2|，化简整理，对a讨论，当a=$\frac{1}{4}$时，当a=1时，当a$≠\frac{1}{4}$且a≠1时，即可所求轨迹方程和轨迹．
解答 
解：（1）如图，设P（x，y），则|y-1|•|y+1|=1，
化简得y=±$\sqrt{2}$或y=0．
故动点P的轨迹为三条平行线；
（2）设P（x，y），由题意可得$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x+2|+4，
即为y2=8（|x+2|+x+2），
即有y2=$\left\{\begin{array}{l}{0，x＜-2}\\{16（x+2），x≥-2}\end{array}\right.$，
作图如右图，表示一条抛物线和一条射线．
（3）设P（x，y），则|y-1|•|y+1|=a|x-2|•|x+2|，
化简得[（y2-1）+a（x2-4）]•[（y2-1）-a（x2-4）]=0，
即ax2-y2=4a-1或ax2+y2=4a+1（a＞0），
即有当a=$\frac{1}{4}$时，表示两条相交直线和椭圆；
当a=1时，表示双曲线和圆；
当a$≠\frac{1}{4}$且a≠1时，表示双曲线和椭圆．
点评 本题考查轨迹方程的求法，以及方程表示的轨迹，同时考查直线和圆、椭圆和双曲线的方程，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，
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