题目内容
14．已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人，分别求解下列问题（用数字作答）：（1）若他们排成一排，则甲、乙、丙三人中任两人都不相邻的不同排法有多少种；
（2）若派遣这6人去参加一项会议，至少有一人去，去几人自行决定，但甲与乙两人要么同时去，要么同时不去，求共有多少种不同的派遣方法；
（3）若这6人中，有4名男生，2名女生，现从中选出4人去参加某项活动，要求男女生都有，求不同的选法种数．
分析 （1）不相邻问题采用插空，把甲、乙、丙三人插入到丁、戊、己三人排列所形成的4个空中3个即可；
（2）分两类，第一类，甲乙同去，有${C}_{4}^{0}$+${C}_{4}^{1}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{4}$=16种，第二类，甲乙都不去，有${C}_{4}^{1}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{4}$=15种，根据分类计数原理可得；
（3）分两类，第一类，1名女生3名男生，有${C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{3}$=8种，第二类，2名女生2名男生，有${C}_{4}^{2}$=6种，根据分类计数原理可得．
解答 解：（1）把甲、乙、丙三人插入到丁、戊、己三人排列所形成的4个空中3个，故有${A}_{3}^{3}•{A}_{4}^{3}$=144种；
（2）分两类，第一类，甲乙同去，有${C}_{4}^{0}$+${C}_{4}^{1}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{4}$=16种，
第二类，甲乙都不去，有${C}_{4}^{1}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{4}$=15种，
根据分类计数原理得，共有16+15=31种；
（3）分两类，第一类，1名女生3名男生，有${C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{3}$=8种，
第二类，2名女生2名男生，有${C}_{4}^{2}$=6种，
根据分类计数原理得，共有8+6=14种．
点评 本题考查分类计数原理，和排列中的不相邻问题，属于中档题．
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