题目内容
4.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=$\frac{1}{12}$x4-$\frac{1}{6}$mx3-$\frac{3}{2}$x2,若对任意的实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则b-a的最大值为( )A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
分析 先求f″(x)=x2-mx-3,从而由凸函数的定义知|m|≤2时,x2-mx-3<0在(a,b)上恒成立,并且可以得到mx>x2-3恒成立,讨论x的取值:x=0时,容易判断上面不等式成立;x>0时,会得到$m>x-\frac{3}{x}$,从而得到-2$>x-\frac{3}{x}$,解该不等式0<x<1;同样的方法x<0时,会得到-1<x<0,最后即得到-1<x<1,从而得出b-a的最大值2.
解答 解:根据已知,|m|≤2时,f″(x)=x2-mx-3<0在(a,b)上恒成立;
∴mx>x2-3恒成立;
(1)当x=0时,f″(x)=-3<0显然成立;
(2)当x>0时,$m>x-\frac{3}{x}$;
∵m的最小值为-2;
$-2>x-\frac{3}{x}$;
解得0<x<1;
(3)当x<0时,m$<x-\frac{3}{x}$;
∵m的最大值为2;
∴$2<x-\frac{3}{x}$;
解得-1<x<0;
综上可得-1<x<1;
∴b-a的最大值为1-(-1)=2.
故选C.
点评 考查对凸函数定义的理解,能够想到根据m的范围来解不等式x2-mx-3<0,要熟悉二次函数的图象,并正确求导.
练习册系列答案
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A. | 6 | B. | 8 | C. | 10 | D. | 14 |