Question

10．不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0对一切实数x都成立，实数m的取值范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 对m讨论，当m=-1时，当m＞-1时，判别式△＜0，当m＜-1时，结合二次函数的图象和性质，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：当m=-1时，不等式即为x-2＞0，解得x＞2，对一切实数x不恒成立；
当m＞-1时，判别式△＜0，即为m²-4（m+1）（m-1）＜0，解得m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，对一切实数x恒成立；
当m＜-1时，不等式对一切实数x不恒成立．
综上可得，实数m的取值范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查二次不等式恒成立问题，注意运用二次函数的图象和性质，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题和易错题．