Question

12．设a，b，c∈R⁺，且a+b+c=3，求证：$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$+$\sqrt{2c+1}$≤3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由a、b、c∈R⁺，且a+b+c=3，运用柯西不等式可得（1•$\sqrt{2a+1}$+1•$\sqrt{2b+1}$+1•$\sqrt{2c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（2a+1+2b+1+2c+1）化简整理，即可得证．

解答 证明：由a、b、c∈R⁺，且a+b+c=3，
运用柯西不等式可得（1•$\sqrt{2a+1}$+1•$\sqrt{2b+1}$+1•$\sqrt{2c+1}$）²
≤（1²+1²+1²）（2a+1+2b+1+2c+1）
=3×（6+3）=27，
当且仅当a=b=c=1，取得等号．
即有$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$+$\sqrt{2c+1}$≤3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．