题目内容

2.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,记bn=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$,{bn}的前n项和为Tn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:Tn<1.

分析 (1)利用Sn+1-Sn可知an+1=2n+1,进而可知数列{an}的通项公式an=2n-1;
(2)通过(1)可知bn=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$,利用错位相减法计算即得结论.

解答 (1)解:∵Sn=n2
∴Sn+1=(n+1)2
∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1,
又∵a1=1满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=2n-1;
(2)证明:由(1)可知bn=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$,
∴Tn=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+5•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+(2n-1)•$\frac{1}{{3}^{n}}$,
$\frac{1}{3}$Tn=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+(2n-3)•$\frac{1}{{3}^{n}}$+(2n-1)•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$,
两式相减得:$\frac{2}{3}$Tn=$\frac{1}{3}$+2($\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$)-(2n-1)•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}(1-\frac{1}{{3}^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}}$-(2n-1)•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{{3}^{n+1}}$-(2n-1)•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$,
∴Tn=$\frac{3}{2}$($\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$)=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$<1.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.

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