题目内容
【题目】已知函数(
,
是自然对数的底数).
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式求切线方程(2)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题:
,利用导数研究函数
最小值时,先根据
,得导函数在
上单调递增,因此
,即得实数
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当时,有
,
则.
又因为,
∴曲线在点
处的切线方程为
,即
(Ⅱ)因为,令
有(
)且函数
在
上单调递增
当时,有
,此时函数
在
上单调递增,则
(ⅰ)若即
时,有函数
在
上单调递增,
则恒成立;
(ⅱ)若即
时,则在
存在
,
此时函数在
上单调递减,
上单调递增且
,
所以不等式不可能恒成立,故不符合题意;
当时,有
,则在
存在
,此时
上单调递减,
上单调递增所以函数
在
上先减后增.
又,则函数
在
上先减后增且
.
所以不等式不可能恒成立,故不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为
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