Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）是，定值2．

【解析】

由题知,,由及的关系即可求解;

由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0）则x02+2y02＝8，可得,分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求△OMN的面积即可.

由2a＝4，e，

解得a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，

则椭圆的方程为1；

（2）由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），

设P（x0，y0），可得1，即x02+2y02＝8，

则，

因为AP∥OM,BP∥ON，则，

①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，联立椭圆方程可得y＝±，

所以,由,

可得，解得m＝±2，所以,

所以S△MNO2×22；

②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立直线y＝kx+n和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，

可得x1+x2，x1x2，

y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，

由k2，可得n2＝2+4k2，

由弦长公式可得,|MN|，

点（0，0）到直线l的距离为，

所以S△OMNd|MN|＝2，

综上可知,△OMN的面积为定值2．