Question

【题目】已知矩形，为中点，将至折起，连结.

（1）当时，求证：；

（2）当时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由线面垂直的性质定理可知，进而由线面垂直的判定定理可证平面，最后由线面垂直的性质定理可证；

（2）过点作直线平面，以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，的坐标为，由已知关系构建三元一次方程组求得,再分别计算平面和平面的法向量，最后由数量积公式求夹角的余弦值即可.

（1）证明：由题意可知，

，平面，平面，所以平面，

又平面，所以，

因为，平面，平面，

所以平面，

又平面.所以.

（2）过点作直线平面，以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，

则，设点的坐标为，则的坐标为，

①

又 ②，

③

解由①②③构成的方程组可得，即点的坐标

进而

设平面的一个法向量为，可得

所以，令，解得，即，

易知，平面的一个法向量，

，

由图可知，二面角的大小为锐角，

二面角的余弦值为.