题目内容

14.已知等差数列{an}满足${a_3}=7,{a_5}+{a_7}=26,{b_n}=\frac{1}{{{a_n}^2-1}}(n∈{N^*})$,数列{bn}的前n项和为Sn,则S100的值为(  )
A.$\frac{101}{25}$B.$\frac{35}{36}$C.$\frac{25}{101}$D.$\frac{3}{10}$

分析 利用已知条件求出等差数列{an}的通项公式,然后化简${b}_{n}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$,利用裂项求和,求解即可.

解答 解:在等差数列{an}中,a5+a7=2a6=26⇒a6=13,又数列{an}的公差$d=\frac{{{a_6}-{a_3}}}{6-3}=\frac{13-7}{3}=2$,
所以an=a3+(n-3)d=7+(n-3)×2=2n+1,
那么${b_n}=\frac{1}{{{a_n}^2-1}}=\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
故Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{1}{4}(1-\frac{1}{n+1})⇒{S_{100}}=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{101})=\frac{25}{101}$
故选:C.

点评 本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查计算能力.

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