Question

3．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求边长a．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，根据最大值为2求出m的值即可；
（2）由（1）确定出的f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b=3c，再利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入得到bc=3，联立求出b与c的值，利用余弦定理求出a的值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-m=$\sqrt{3}$（cos2x+1）+sin2x-m=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-m，
∴函数f（x）在2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时取得最大值，即2+$\sqrt{3}$-m=2，
解得：m=$\sqrt{3}$；
（2）∵f（A）=0，
∴2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=0，即sin（2A+$\frac{π}{3}$）=0，
由A为锐角，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，
∵△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即bc=3②，
联立①②，解得：b=3，c=1，
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=3²+1²-2×3×1×cos$\frac{π}{3}$，
∴a=$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．