Question

19．在等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB=sinAcosC-$\frac{1}{2}$sinC，且a=$\sqrt{3}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 条件不足，无法计算

Answer 1

分析 利用两角和公式对原等式化简整理求得cosA的值，进而求得A，则B，C可求得，最后利用正弦定理求得b和c，利用三角形面积公式求得答案．

解答 解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC-$\frac{1}{2}$sinC
求得cosA=-$\frac{1}{2}$，
故A=$\frac{2π}{3}$，
∵三角形为等腰三角形，
∴B=C=$\frac{π}{6}$，
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$×$\frac{1}{2}$=1，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故选B．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注意对三角函数公式的能熟练并灵活运用．