题目内容

19.在等腰△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinB=sinAcosC-$\frac{1}{2}$sinC,且a=$\sqrt{3}$,则△ABC的面积为(  )
A.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\sqrt{3}$D.条件不足,无法计算

分析 利用两角和公式对原等式化简整理求得cosA的值,进而求得A,则B,C可求得,最后利用正弦定理求得b和c,利用三角形面积公式求得答案.

解答 解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC-$\frac{1}{2}$sinC
求得cosA=-$\frac{1}{2}$,
故A=$\frac{2π}{3}$,
∵三角形为等腰三角形,
∴B=C=$\frac{π}{6}$,
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$,
∴b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$×$\frac{1}{2}$=1,
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
故选B.

点评 本题主要考查了正弦定理的应用,三角函数恒等变换的应用.注意对三角函数公式的能熟练并灵活运用.

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