题目内容
【题目】已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当x2>x1>0时,f(x2)>f(x1).
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值;
(2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值范围.
【答案】(1)0,2, 3 (2)(2,4]
【解析】
试题(1)令可求得
,令
可求得
,令
可求得
;(2)借助于(1)的结论将不等式转化为f[x(x-2)]≤f(8),借助于函数单调性和定义域可得到关于x的不等式,从而得到x的取值范围
试题解析:(1)f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
f(8)=f(2)+f(4)=2+1=3.
(2)∵f(x)+f(x-2)≤3,∴f[x(x-2)]≤f(8),又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
∴2<x≤4.
∴x的取值范围为(2,4].
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