Question

【题目】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品13千克.

（1）求的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.

Answer 1

【答案】（1）6（2）x=4,46

【解析】

（1）由f（5）＝13代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；

（2）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解：（1）因为x＝5时，y＝13，所以10＝13，故a＝6，

（2）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）

于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	单调递增	极大值46	单调递减

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于46

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.