题目内容
【题目】已知为实数,用
表示不超过
的最大整数,例如
,
,
.对于函数
,若存在
且
,使得
,则称函数
是“和谐”函数.
(1)判断函数,
是否是“和谐”函数;(只需写出结论)
(2)设函数是定义在
上的周期函数,其最小周期为
,若
不是“和谐”函数,求
的最小值.
(3)若函数是“和谐”函数,求
的取值范围.
【答案】(1)是“和谐”函数,
不是“和谐”函数.(2)最小值为1.(3)
且
,
且
【解析】
(1)根据“和谐”函数的定义即可判断,
是否是“和谐”函数.
(2)根据周期函数的定义,结合“和谐”函数的条件,进行判断和证明即可.
(3)根据“和谐”函数的定义,分别讨论,
和
时,满足的条件即可.
(1)由题知:是“和谐”函数,
不是“和谐”函数.
(2)的最小值为
.
因为是以
为最小正周期的周期函数,所以
.
假设,则
,所以
,矛盾.
所以必有,
而函数的周期为1,且显然不是“和谐”函数,
综上,的最小值为1.
(3)当函数是“和谐”函数时,
若,则
显然不是“和谐”函数,矛盾.
若,则
,
所以在
,
上单调递增,
此时不存在,使得
,
同理不存在,使得
,
又注意到,即不会出现
的情形,
所以此时不是“和谐”函数.
当时,设
,
所以,所以有
,其中
,
当时,
因为,所以
,
所以.
当时,
,
因为,所以
,
所以.
记,综上,我们可以得到“
且
,
且
”.
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